本書系統地介紹了圖像處理技術中所涉及的數學基礎。在前四章中，筆者設法化繁為簡，從眾多繁冗的數學知識中萃取了在學習和研究圖像處理技術時所必須的內容，以期有效地幫助讀者篩選出最為必要的理論基礎，包括微積分、場論、變分法、復變函數、偏微分方程、泛函分析、概率論和統計學等。本書的后半部分每章圍繞一個主題詳盡地介紹了一些實際應用中的技術，這部分內容涉及到的子話題和具體算法十分豐富，其中很多都是當前研究的熱點。更重要的是，在后四章里，讀者將反復用到本書前半部分所介紹的數學原理。這不僅能幫助讀者夯實基礎、強化所學，更能幫助讀者建立一條連接數學和圖像處理世界的橋梁，做到學以致用。本書可作為圖像處理和機器視覺等領域的從業人員的技術指導資料，也可作為大專院校相關專業師生研究或學習的參考書籍。

2002年，國際計算機學會將當年度的圖靈獎頒給了因提出RSA公鑰加密算法而聞名于世的羅納德·李維斯特、阿迪·薩莫爾和倫納德·阿德曼三人。與RSA公鑰加密體制密切相關的一個數學基礎就是“中國剩余定理”，這也是現代數學中唯一以中國之名命名的定理，在某種程度上它也成為了中國古代數學成就的一個重要代表。
我國古代數學名著《孫子算經》中記載的“物不知數”問題是中國剩余定理的一個典型算例。后來，南宋數學家秦九韶在他的《數書九章》中推廣了“物不知數”問題，提出了“大衍求一術”，為求解中國剩余定理問題提供了系統化的數學理論。西方世界直到18世紀，才對類似問題展開系統研究。德國的高斯得出類似“大衍求一術”的結論則到了19世紀，比秦九韶晚了近700年。
秦九韶曾在《數書九章》的序言中寫道： “其用本太虛生一，而周流無窮，大則可以通神明，順性命； 小則可以經世務，類萬物……若昔推策以迎日，定律而知氣。髀矩浚川，土圭度晷。天地之大，囿焉而不能外，況其間總總者乎？”這段話譯成現代漢語就是： “為了應用，人們要認識世界的規律，因而產生了數學。數學具有廣泛的應用性。從大的方面說，數學可以認識自然，理解人生； 從小的方面說，數學可以經營事務，分類萬物……過去，歷算家們用籌算推演，制定天文歷法； 發現自然規律，預測季節變化。用髀、矩測山高河深，用圭表量日影，以定時刻與節氣。宇宙如此之大，尚且不能置于數學之外，那么宇宙之中的各種各樣的事物，難道能離開數學嗎？”由此可見，在古代，人們已經意識到了數學的重要性。
事實上，作為現代科學技術的重要基礎，數學甚至也在直接或間接地影響著一個國家的綜合國力。古今中外，許多名流志士，甚至很多本來并非數學家出身的人，都在著述或談話中論及了數學之于國力的影響。例如，19世紀中國杰出的數學家李善蘭在列強環伺、國勢衰微的民族危難之際便感慨道： “嗚呼！今歐羅巴各國日益強盛，為中國邊患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算學明也。”無獨有偶，在萬里之外的西方世界，拿破侖則更為直接地指出： “一個國家只有數學蓬勃的發展，才能展現它國力的強大。數學的發展和至善與國家繁榮昌盛密切相關。”
回過頭來看我們要談的數字圖像處理技術，數學對其的影響可能更為直接。總所周知，數字圖像處理技術的研究與開發對數學基礎的要求很高，一些不斷涌現的新方法中，眼花繚亂的數學推導令很多期待深入研究的人望而卻步。一個正規理工科學生大致已經具備了包括微積分、線性代數、概率論在內的數學基礎。但在分析一些圖像處理算法的原理時，好像感覺還是無從入手。實際中所涉及的問題主要歸結為如下幾個原因： ?微積分、線性代數、概率論這些是非常重要的數學基礎，但顯然不是這些課程中所有的內容都在圖像處理算法中有直接應用； ?當你將圖像處理和數學分開來學的時候，其實并沒有設法建立它們二者的聯系； ?一些新方法或者所謂的高大上算法的基礎已經超過了上面三個數學課程所探討的基本領域，這又涉及偏微分方程、變分法、復變函數、實變函數、泛函分析等； ?如果你不是數學科班出身，要想自學上面所談到所有內容，工作量實在太過繁雜，恐怕精力也難以顧及。
長久以來，筆者結合自己對圖像處理的學習和實踐，大致總結了一部分圖像處理研究中所需的數學原理基礎。這些內容主要涉及微積分、向量分析、場論、泛函分析、偏微分方程、復變函數、變分法等。正如前面所提到的，如果要系統地學習上述這些數學理論的全部內容，對于一個非數學專業出身的人來說可能并不現實。于是筆者嘗試總結、歸納、提取了上面這些數學課程在研究圖像處理時最容易碰到也最需要知道的一些知識點，然后采取一種循序漸進的方式將它們重新組織到了一起。并結合具體的圖像處理算法討論來講解這些數學知識的運用。從而建立數學知識與圖像處理之間的一座橋梁。這部分內容主要是筆者日常研究和學習的一個總結。最初筆者也只是把這部分文章發到了自己的技術博客上，而且盡管此前筆者僅是斷斷續續地擷取了其中的一部分發到了網上，已經有讀者表現出了濃厚的興趣。不知不覺中，這個系列專欄的文章日積月累，內容漸漸豐富，個人感覺確實已經形成了一個相對比較完整的體系，于是便有了各位現在看到的這本書。
本書旨在對圖像處理技術中所涉及的數學原理給出一個相對系統的講述。全書共分8章，其中前4章主要是一些數學基礎方面的內容，包括微積分、場論、變分法、復變函數、偏微分方程、泛函分析、概率論和統計學等。而這部分內容所給出的正是筆者認為在學習和研究圖像處理技術時所必須的數學知識。當然，僅僅有理論仍然是不足的。本書的后半部分每章圍繞一個主題詳盡地介紹了一些實際應用中的圖像處理技術，這部分內容也相當地凝練，涉及的子話題和具體算法十分豐富，其中很多都是當前研究的熱點。更重要的是，在后4章里，讀者將反復用到本書前半部分所介紹的數學原理。這樣一來不僅能幫助讀者夯實基礎、強化所學，更能幫助讀者建立一條連接數學和圖像處理世界的橋梁，做到學以致用。
在閱讀本書時，有兩種方式可供讀者選擇。如果你數學基礎尚可，那么可以試著從第5章開始看起，如果對一些遇到的術語、公式不甚了解，可以再翻回前面的內容，做有針對性的查閱。如果你的數學基礎略顯薄弱，或者曾經學過，但眼下所剩無幾，那么你也可以從頭看起，幫助自己建立一個相對完整而扎實的數學思維體系。當然由于本書的知識內容是高度凝練的，無法做到包山包海，因此仍然建議那些有一定微積分基礎的人作為本書的目標讀者。換言之，具有普通大專院校工科數學基礎的讀者就可以閱讀本書。
萬丈高樓平地起，基礎不牢，地動山搖。很多人在學習和研究圖像處理算法時都感覺有一道無形的屏障擋在眼前，總是力不從心。雖然自己也似乎看了很多資料，但是遇到一些實際問題時，又不知道該從何入手。或許，你所欠缺的恰恰是一個夯實的理論基礎。正如筆者常說的一句玩笑話： “如果連基本的求導還不甚了解，那么即使傅立葉本人親自來給你講傅立葉變換，你也是無福消受的。”但如果你是圖像處理的同道中人，或者你正在學習、研究和運用圖像處理技術，那么筆者相信，你一定能從本書中有所收獲！
總的來說，我不太喜歡翻開一本信息技術相關的工具書，里面密密麻麻的全部都是代碼。所以，我希望能夠在我的書中留下更多空間去討論原理和思路。鑒于這并不是一本教導人們如何開發圖像處理程序的書，或者更準確地說這是一本介紹數學在圖像處理中的應用的書，所以我們并不要求讀者閱讀本書前已經掌握了某種特定的計算機語言。然而，在介紹某些比較晦澀的算法時，使用一些必要的代碼來輔助解釋也是很有必要的，而且有時這也的確是最直截了當最容易被接受的方式。所以本書中確實涉及某些用MATLAB編寫的代碼，但它們的占比是極其有限的。在有必要使用代碼來演示說明算法原理的時候，我們也僅是給出了算法核心部分的相關代碼。事實上，筆者更習慣于在博客中上傳代碼，而非把它們全部羅列到書中去擠占篇幅。
更重要的是，如果讀者在閱讀本書時遇到一些困難，或者有一些需要跟作者溝通的問題時，都可以在該博客上通過留言的方式來跟筆者進行交流。
無冥冥之志者，無昭昭之明，無惛惛之事者，無赫赫之功。我衷心地希望本書的讀者能夠在圖像處理領域既有昭昭之明，亦有赫赫之功。
最后雖然有點俗套，但筆者還是想說： 自知論道須思量，幾度無眠一文章。由于時間和能力有限，書中紕漏在所難免，真誠地希望各位讀者和專家不吝批評、斧正。
左飛